Integral Curvilínea o Integral de lineal

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de investigación tiene como tema el estudio de la integral curvilínea o Integral de lineal. Una integral de línea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva definida en el plano o en el espacio, unos ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• El cálculo de la longitud de una curva en el plano o en el espacio.
• El cálculo del trabajo que se realiza para mover un objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo
• Centro de masa
• Momento de inercia

FUNDAMENTO TEÓRICO 

Integral de lineal en campos escalares 

Sea f : Ω → R un campo escalar continuo, con Ω ⊆ R n , y sea γ : [a,b] → Ω un camino regular a trozos. La integral de línea de f a lo largo de γ es, por definición:

Ejemplo: 

                    Calcular la siguiente integral de lineal donde C es la circunferencia x=a cos(t) & y= a sen(t)

Integral de línea en campos vectoriales 

Sea ahora F : Ω → R n un campo vectorial continuo en un conjunto Ω ⊆ R n y γ : [a,b] → Ω un camino regular a trozos. La integral de línea de F a lo largo de γ es, por definición:

Ejemplo:

Propiedades de las integrales de línea

Linealidad: Las integrales dependen linealmente del campo que se integra. Más concretamente, se verifica que 

para cualquier camino regular a trozos γ en R n , cualesquiera campos escalares f y g que sean continuos sobre la curva recorrida por el camino γ y cualesquiera α,β ∈ R. Análoga propiedad se tiene para campos vectoriales:

Continuidad:  Las integrales de línea también dependen de manera continua del campo que se integra; intuitivamente, pequeñas perturbaciones del campo dan lugar a pequeñas variaciones en la integral. Ello es consecuencia de las desigualdades que vamos a presentar

Sea γ : [a,b] → R n un camino regular a trozos que recorre una curva Γ, sea f un campo escalar continuo sobre Γ y supongamos que f está acotado en Γ por una constante k, es decir,

 Entonces se tiene:

 Análogo resultado se tiene para un campo vectorial F que sea continuo sobre Γ. De hecho, podemos considerar el campo escalar F, que también es continuo sobre Γ, y la desigualdad de Cauchy-Schwartz nos permite escribir

 Aditividad: Las integrales de línea son aditivas con respecto al camino de integración, en el sentido de que al recorrer consecutivamente dos caminos, las integrales se suma

 Más concretamente, sean γ : [a,b] → R n y σ : [c,d] → R n caminos regulares a trozos consecutivos, esto es, verificando que γ(b) = σ(c), y consideremos el camino suma γ⊕σ. Si f y F son, respectivamente, un campo escalar y un campo vectorial, ambos continuos sobre la unión de las curvas recorridas por γ y σ, se verifica que: 

Aplicaciones de la integral de línea 

Longitud de una curva 

Trabajo

Centro de masa

Momento de Inercia 

APLICACIONES

Bibliografía 

Vieites, A. (2004). Cálculo Integral y Aplicaciones con MATLAB. Madrid: Pearson.

Apostol, T. (1996). CÁLCULUS. Barcelona: Reverté.

Sanchez, P., & Lopéz R. (2013). Integral de línea, obtenido de: https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea

Lucas V. Barbosa (2017). Integral de línea en un campo vectorial, obtenido de: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-in-vector-fields-articles/a/line-integrals-in-a-vector-field

James Stewart. Cálculo de varias variables. Conceptos y contextos, 4e. ISBN: 607-481-238-1.

Apuntes tomados durante las clases :3